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题目与解析

问题

n是一个各位数字互不相等的自然数,它能被它的每个数字整除.n的最大值是______.

答案与解析

0不能做除数,所以n不能含有0,.
n不能同时含有5和偶数,因为此时n的个位将是0.如果含有5,则2,4,6,8都不能有,此时位数不会多.
如果n只缺少5,则含有1,2,3,4,6,7,8,9,但是数字和为40,不能被9整除.
所以必须再去掉一位,为了最大,应该保留9放到最高位,为了使数字和被9整除,还需要去掉4.
此时由1,2,3,6,7,8,9组成,肯定被9整除,还需要考虑被7和8整除.
前四位最大为9876,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312,9876312被7除余5;
前四位如果取9873,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216,9873216被7除余3;
前四位如果取9872,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为136,9872136被7除余1;
前四位如果取9871,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632,9871632被7除余1;
前四位如果取9867,剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312,9867312被7整除.9867312能同时被9、8、7、6、3、2、1整除,
故答案为:9867312.

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