苏教版高中二年级数学---不等式重点、难点：教学重点：掌握一元二次不等式的解法，线性规划及基本不等式的应用。教学难点：数形结合思想以及分类讨论思想的运用。基本知识结构：本章研究了一元二次不等式的解法，并借助二元一次不等式（组）的几何意义求解简单的线性规划问题，最后探索了基本不等式的证明过程，例举了基本不等式的简单应用.不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.学习本章应注重数形结合，学会通过函数图象理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义.在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力.1、一元二次不等式的解法：13\n先考查对应方程的根的判别式的符号，得到对应的一元二次方程的根，考查对应的二次函数的图象根据图象写出对应的一元二次不等式的解集。2、二元一次不等式表示平面区域已知直线l：Ax+By+C＝0①当B>0时，Ax+By+C>0表示直线l上方的平面区域；Ax+By+C<0表示直线l下方的平面区域②当B<0时，Ax+By+C>0表示直线l下方的平面区域；Ax+By+C<0表示直线l上方的平面区域；③当B＝0时，（此时l⊥x轴）A>0Ax+By+C>0表示直线l右侧的平面区域；Ax+By+C<0表示直线l左侧的平面区域A＜0时，仿A＞0自行讨论。以上结论请自行证明。3、线性规划中的几个概念（1）不等式组①是一组对变量x、y的约束条件。（2）函数z＝2x+y为目标函数。（3）满足线性约束条件的解（x、y）叫做可行解。（4）所有可行解组成的集合叫做可行域。（5）使线性目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解。4、掌握比较大小的常用方法：①基本结论：利用常见的基本不等式，直接比较两个代数式的大小。这里主要是利用：13\n当a、b∈R+时，≤≤及其变形公式②作差、作商、平方作差法，根据题目的特点，合理选用。这在证明题中要比较两个代数式的大小时经常使用。5、熟练掌握用均值不等式求最值，必须注意三个条件：一正；二定；三相等。三者缺一不可。如不满足条件时求最值可以结合函数的单调性来解决。如求函数（x≥1）的最小值。6、不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。7、把握解含参数的不等式的注意事项解含参数的不等式时，首先应注意考查是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小。【典型例题】【例1】解不等式：x2－（a+a2）x+a3<0。解题思路分析：因x2－（a2+a）x+a3＝（x－a）（x－a2），不等式解的一般形式为两根a与a2之间，下面比较a与a2大小。a－a2＝a（1－a）当a＝0或a＝1时，a＝a2，原不等式为x2<0，或（x－1）2<0，不等式无解当00，a>a2，不等式解为a21或a<0时，a（1－a）<0，a1，或a<0时，不等式的解为a0。解题思路分析：首先对二次项系数a讨论，以确定不等式的类型：当a＝0时，原不等式为4x+4>0，x>－1。当a≠0时，不等式为二次不等式，其解的情况应考虑判别式△＝16－16a＝16（1－a）及二次项系数a的符号这两个因素，也就是讨论的标准为a与1与0的大小比较。13\n当a>1时，不等式可化为△△’＝，不等式的解为R当00，解的形式为两根之外，求得方程两根为，，不等式的解为，或。当a<0时，不等式可化为，△’>0，解的形式为两根之间，不等式的解为，注意此时两根大小已改变。当a＝1时，原不等式可化为x2+4x+4>0，（x+2）2>0∴x≠－2解：当a＝0时，4x+4>0，x>－1，为原不等式的解当01时，原不等式可化为x2+∵∴不等式的解为R当a<0时，原不等式可化为x2+∴原不等式的解为当a＝1时，原不等式可化为（x+2）2>0，x≠－2，原不等式解为x∈R，且x≠－213\n注：含字母的二次不等式的讨论，涉及到的因素较多，如二次项系数是否为0，判别式△的符号，两根的大小关系。在判别式△<0时，应注意区别不等式的解是R或φ。关于不等式解的一般形式是两根之间还是两根之外，应由二次项符号及不等号方向两者同时决定，当二次项为正（负）及不等号，方向为大于（小于）时，不等式解的形式为两根之外；否则为两根之间。通常将二次项系数化为常数。【例3】某商场计划出售A、B两种商品，商场根据实际情况和市场需求，得到有关数据如下表：（商品单位：件）资金（百元）A商品B商品日资金供应量单位进价30203000单位工资支出5101100单位利润68 问如何确定两种货物的月供应量，可以使得总利润达到最大？最大利润为多少？分析：这是一个典型的线性规划问题解法一：设供应A商品x件，B商品y件由题意有要求目标函数z＝6x+8y的最大值。约束条件可化为令设6x+8y＝A+μB＝（3x+2y）+μ（x+2y）∴∴6x+8y＝A+3B≤960当即时6x+8y的最大值为960∴每月供应A商品40件，B商品90件时，商场可获最大利润为96000元。解法二：约束条件为可行域为如图阴影部分（四边形OACB内部）13\n目标函数z＝6x+8y表示一组斜率为的平行直线，其在y轴上的截距为，当直线z＝6x+8y经过点C（即3x+2y＝300，x+2y＝220的交点）时直线在y轴上的截距为最大，此时x＝40，y＝90，z＝960（下略）回顾：①解法二更直观、方便，但对直线作图要求较高，要熟练掌握直线的斜率、倾斜角在坐标轴上的截距等问题。②若将单位工资支出的月资金供应量调整为1150（百元）（这时点C坐标为（35，92.5））问题的解又如何？ 【例4】设a，b∈R，求证：a2+b2≥ab+a+b－1。解题思路分析：思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a或b看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。作差δ＝a2+b2－ab－a－b+1＝a2－（b+1）a+b2－b+1＝＝≥0思路二：注意到不等式两边式子a2+b2与ab的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a与b项，应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。因a2+b2≥2ab，a2+1≥2a，b2+1≥2b三式同向相加得：a2+b2≥ab+a+b－1思路三：在思路一中，作差δ后得到关于a的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。记fA.＝a2－（b+1）a+b2－b+1因二次项系数为正，△＝（b+1）2－4（b2－b+1）＝－3（b－1）2≤0∴fA.≥0【例5】某地区上年度电价为每千瓦时0.8元，年用电量为a13\n千瓦时，本年度计划将电价降到每千瓦时0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为每千瓦0.4元。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力成本价为每千瓦0.3元，设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？解题思路分析：解决实际应用题，首先要理清数量之间关系，如本题：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价）。其次，将关键文字语言转换成适当的数学模型，如“新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比”翻译为数学模型就是“设实际电价为x，则新增用电量＝”，“电力部门的收益比去年至少增长20%”翻译为数学模型就是“本年度收益，去年收益（0.8－0.3）a，≥（0.8－0.3）a（1+20%）”。令k＝0.2a，解不等式：≥（0.8－0.3）（1－20%）a即x2－1.1x+0.3≥0得：x≥0.6，或x≤0.5又0.55≤x≤0.75∴x＝0.6解：设实际电价为x（元），则用电量增至，去年收益为（0.8－0.3）a，今年收益为当k＝0.2a时，由已知得：≥化简得：x2－1.1x+0.3＞0∴x≥0.6，或x≤0.5又0.55≤x≤0.75　　　　∴0.6≤x≤0.75∴当实际用电价最低定为每千瓦时0.6元时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。【模拟试题】本试卷分第I卷和第II卷两部分。满分100分，考试时间100分钟。第I卷一、选择题（每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂到答题卡上.）1、命题“若，则a，b，c成等比数列”13\n的逆命题、否命题、逆否命题中真命题个数是（）A.0B.1C.2D.32、在等差数列中，若，则的值为（）A.9B.12C.16D.173、一元二次不等式的解集是，则的值是（）A.B.C.D.4、已知等差数列的公差为，若成等比数列，则（）A.B.C.D.5、下列各函数中，最小值为的是（）A.B.，C.D.6、不等式（x－2）（x+1）<0的一个必要不充分条件是（）A.x＝0B.－12D.x<－17、将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第6层正方形的个数是（）A.28B.21C.15D.11.8、若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（）A.B.C.D.9、过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（）13\nA.B.C.D.10、已知抛物线的焦点弦的弦长为，则弦的倾斜角为（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°11、若，则必有（）A.B.C.D.12、（2006年江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（）A.100B.101C.200D.201 二、填空题（每小题3分，共12分，请将答案填在横线上）。13、若在△ABC中，则＝_______。14、设且，则的最小值为________.15、设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是16、设一个三角形的三边长分别是，则最长边与最短边的夹角等于. 三、解答题：（解答需要写出文字说明或论证过程，共52分）17、（本小题满分8分）：在△ABC中，若，判断△ABC的形状。18、（本小题满分10分）等差数列中，a1>0且前n项之和为Sn，若S7＝S13，则n为何值时，Sn为最大？13\n19、（本小题满分10分）：解关于的不等式20、（本小题满分12分）：已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由。21、（本小题满分12分）：直线l：ax+y+2＝0平分双曲线的斜率为1的弦，求a的取值范围。  13\n【试题答案】一、选择题：（每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂到答题卡上。）题号123456789101112答案CCDBDABCCDCA二、填空题：（每小题3分，共12分）13、14、1615、16、60°三、解答题：17、由正弦定理将化为……………2′可化为sin2A＝sin2B……………4′A＝B或A+B＝。……………6′故△ABC为等腰三角形或直角三角形。……………8′18、解：方法一：设公差为d，若d≥0，则an＝a1+（n－1）d>0，这时Sn关于n单调递增，与S7＝S13矛盾，故d<0。……………3′又，……………5′∴点（n，Sn）位于开口向下的抛物线上，……………7′当n＝时，Sn取最大值。……………10′方法二：由S7＝S13知a8+a9+…+a12+a13＝0……………2′∵a8+a12＝2a10，a9+a13＝2a11，∴a10+a11＝0，……………4′设公差为d，若d≥0，由a1>0知a10>0.a11>0.与a10+a11＝0矛盾，……………6′∴d<0，于是a10>0，a11<0，……………8′∴S10最大，即n＝10时，Sn取最大值。……………10′19、解：……………4′①00即x21时，x1－x2<0，即x1）……………6′kPD＝……………8′由图知，当动直线l的斜率k∈时，l过斜率为1的弦AB的中点M，而k＝－a……………10′∴a的取值范围为：……………12′ 13