第八单元　对称、平移和旋转一、教学内容本单元教学对称、平移和旋转的相关内容，这是在第一学段初步认识对称、平移和旋转的基础上的进一步学习，进一步认识图形的变换，发展空间观念。具体内容分三段安排：例1教学对称和对称轴，例2教学在方格纸上平移简单的图形，例3、例4进一步认识旋转，教学在方格纸上把简单图形旋转90°。结合图形的变换，最后安排了实践活动“图案的欣赏与设计”。二、教材编写特点和教学建议1．用折纸的方法认识和确定对称轴，学习画对称轴◆对折长方形和正方形，并通过交流认识和学会画对称轴第一学段认识轴对称图形时，初步知道对折的折痕是对称轴。本单元对称内容主要认识对称轴并能画出轴对称图形的对称轴，加深对轴对称图形的认识。P62的例题要求用长方形纸对折，画出对称轴。教材让学生自己完成，通过交流知道长方形有两条对称轴，接着启发学生思考怎样在长方形图上直接画对称轴，联系对折的经验通过连结对边的中点画它的对称轴，学会画长方形对称轴的方法。“试一试”对折正方形纸，交流找出不同的折法，并能画出四条不同的对称轴。◆折出并画出学过图形的对称轴教材P62第1题让学生折一折，判断轴对称图形，并利用折痕画出相应的对称轴，进一步体验轴对称图形的特征，知道对折的折痕就是轴对称图形的对称轴，学会画轴对称图形的对称轴。◆画出图案或简单图形对称轴第2题在认识对称轴的基础上，判断哪些图案是轴对称图形，并画出所有的对称轴，掌握判断轴对称图形和画轴对称图形对称轴的方法；第4题让学生熟悉画对称轴的方法，并观察、分析图形与对称轴条数的关系，发现正几边形就有几条对称轴。◆利用对称轴完成轴对称图形为了加深对轴对称图形的认识，P63第3题让学生画出轴对称图形的另一半，一方面可以体验对称轴的位置，另一方面可以加深对轴对称图形的认识。Ｐ63第5题是综合练习，让学生通过设计，进一步体会轴对称图形及其对称轴。\n2．学生利用已有经验学会平移简单图形的方法◆提出问题让学生自主探索和交流平移方法在第一学段，学生已经学习过在方格纸上把简单图形沿水平方向或垂直方向平移。P64例题要求学生把一个简单图形从方格纸的左上方平移到右下方，引导学生通过观察图形，依据已有的方法把一个图形平移到指定位置，并进行交流，进一步体验平移，认识可以先垂直平移再水平平移，也可以先水平平移再垂直平移，初步学会把第一学段学习的平移方法结合起来平移图形。◆在观察、平移活动中掌握在方格纸上把简单图形平移的方法为了使学生进一步体会把简单图形平移的方法，P65第1题先观察每个图形是怎样平移的，再思考还可以怎样平移到现在的位置，加深认识本单元学习的平移图形的方法。接着安排第２题学生画一画，获得和掌握平移的方法。◆理解应用平移画平行线的方法学生在四年级上册已经学习过画平行线，本单元P65第3题让学生平移三角尺画两条直线，并观察发现所画的两条直线互相平行，平行线间距离５㎝，感受直线平移后是互相平行的，平移几厘米平行线间的距离就是几厘米，帮助学生理解画平行线方法的原理。3．联系现实情景体验旋转和学会把方格纸上图形旋转90°◆联系现实情景认识顺时针和逆时针方向旋转在第一学段，学生已经了解了生活里一些物体的旋转现象。要完整认识、掌握图形的旋转，必须先明确旋转的方向。P66例一通过观察日常见到的公路栏杆打开和关闭时不同方向的旋转，使学生认识旋转可以分为顺时针方向旋转和逆时针方向旋转，这是学习把图形按要求方向旋转的基础。◆在方格纸上把三角尺旋转90°，体验旋转90°的方法教材接着安排例二，让学生探索把三角尺旋转90°的方法，教学时要注意让学生明白，“绕Ａ点旋转”是指Ａ点是固定的，使三角尺的位置旋转90°，并由学生进行旋转操作，体会把三角尺旋转90°的方法，再进行交流各自怎样旋转的，知道可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转，明白把三角尺旋转90°时,可以以Ａ点为固定点，依据方格纸上的位置，将其中的以Ａ为端点的一条边旋转90°，其它边作相应旋转。\n◆通过观察、旋转等实践掌握把简单图形旋转90°教材P67第1～3题，先是观察指针的旋转，体验按哪个方向旋转了90°,感受运动过程与结果；再让学生通过把长方形旋转并画出旋转后的图形，掌握在方格纸上把简单图形旋转的方法；然后观察三组图形，思考旋转方式，体验图形的旋转过程。4．灵活应用对称、平移和旋转设计简单的图案◆欣赏图案并思考图案的形成本单元之后，安排了实践活动“图案的欣赏与设计”，综合应用图形变换的知识。教材P68的安排，先让学生欣赏图案，观察这些图案分别是由哪个图形平移或旋转形成的，体会平移或旋转可以设计出美丽的图案，体验图案设计制作的方法。◆用平移或旋转的方法做出图案在体验图案设计制作方法以后，教材再让学生分别用平移、旋转的方法设计出一些图案，培养学生应用平移和旋转的技能，感受平移和旋转的应用，增强对数学学习的兴趣。◆灵活应用对称、平移和旋转设计图案最后P69准备了方格纸，让学生按上面获得的方法与技能，应用对称、平移和旋转自己设计一个美丽的图案，提高学生综合地灵活地应用图形变换设计图案的能力。第九单元倍数和因数一、单元知识体系本单元教学倍数和因数，包括认识倍数和因数，２、５、３的倍数的特征，以及偶数和奇数、素数和合数。这是在整数乘除法的基础上安排的。通过本单元的学习，一方面可以进一步丰富学生对整数的认识，增强根据数的特征灵活进行计算和解决问题的自觉性；另一方面，也为学生进一步学习公倍数和公因数，以及分数的约分、通分和四则运算奠定基础。内容分三段安排：例1～例3教学认识倍数和因数；例4、例5教学2、5、3的倍数的特征，同时认识偶数和奇数；例6教学素数和合数。二、思想方法渗透1．使学生在探索数的特征的活动中，进一步形成观察、比较、分析和归纳等能力，学会从不同角度验证猜想，并对结论的合理性作出必要的说明，发展数感。\n2．充分利用“百数表”培养直观感知、思维能力，并通过“百数表”中数的自身排列规律发展推理、想象能力。三、教材练习安排1．重建知识体系，通过操作并依据乘法算式认识倍数和因数◆摆出图形，通过乘法算式认识倍数和因数以前的教材把这些内容归结为数的整除，因此根据大纲要求，要先建立整除的概念，由整除引出约数和倍数，再用能否被２整除定义奇数和偶数，以一个数的约数的个数定义质数和合数，由质数引入质因数，学会分解质因数，并用分解质因数的方法求最大公约数和最小公倍数等等，概念较多并且集中，学生学习困难较大。数学课程标准没有提出认识整除的要求，但要求能找10以内某个数的倍数、100以内某个数的所有因数，并降低要求，只要知道奇数、偶数、素数、合数，不要求分解质因数和用求质因数的方法求最大公约数、最小公倍数等。因此，苏教版小学数学教材对这部分内容重建知识体系，依据学生熟悉的乘法算式中积与因数的关系认识倍数和因数。教材的具体安排是：用乘法算式表示拼成图形里正方形的个数教材P70例题，先让学生用12个正方形拼一个长方形，观察长方形的摆法，用乘法算式表示自己的摆法，组织交流出现积是12的不同的乘法式子。根据乘法算式说明倍数和因数，初步体会其意义　　在得出这些乘法算式以后，教材先根据4×3=12说明12是3和4的倍数，3和4都是12的因数，使学生初步体会倍数和因数的含义。让学生在交流中进一步体会倍数和因数的意义和关系　　在学生有了倍数、因数的初步感受后，再要求学生根据其他式子说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数，进一步感受在乘法算式里，积是各个因数的倍数，每一个因数都是积的因数，并在叙述中体会倍数与因数的依存关系，及相应的倍数、因数的叙述方法。教学时要使学生认识两者之间的依存关系，掌握正确的叙述方法。◆利用乘法算式找一个数的倍数或因数\n对于学生来说，由乘法算式引入倍数和因数，那么找一个数的倍数或因数可以借助乘法算式进行。P71例一找３的倍数，启发学生用乘法算式逐个找出它的倍数，体验找倍数的方法；到“试一试”就引导学生想乘法直接依次写出一个数的倍数，并讨论获得找一个数倍数的方法：可以用这个数依次乘１、２、３……找出它所有的倍数。例二找36的所有因数，让学生自己思考用哪两个数相乘得36依次找它的因数，促进学生一对一对地依次填写出所有的因数，体验找所有因数的方法；到“试一试”就让学生直接写一个数的因数，同样观察讨论，获得找一个数的因数的方法：哪两个数相乘的积是这个数，这两个数就都是它的因数，这样可以一对一对地找出一个数的因数。◆通过解决问题加深体验倍数与因数关系和理解找倍数和因数的方法教材P72第2题让学生解决实际问题在表里填数，把４依次乘１、２、３……得出“应付元数”，然后思考下面的问题，可以使学生进一步认识把一个数依次乘１、２、３……所得的积，就是这个数的倍数，进一步理解找倍数的方法。第3题也是解决实际问题填写表里的数，并提出问题让学生思考，使学生明确两个相乘的数都是它们积的因数，求一个数的所有因数，可以想乘法一对一对地找出来，理解找一个数的因数的方法。2．让学生自己观察、思考，发现2、5的倍数的特征◆找出2、5的倍数分别观察、分析，发现相应的特征并在交流中确认课程标准提出的具体目标中，提出让学生知道２、３、５的倍数的特征，而不是掌握特征。教材主要让学生观察、发现它们的特征，如P74例题认识２、５的倍数的特征，让学生先分别找出100以内２、５的倍数，再分别观察、分析它们的特点，组织交流，获得结论。◆依据倍数概念认识偶数和奇数　　认识了２的倍数的特征，教材以此定义偶数和奇数，让学生知道。◆通过自己的活动发展数学思考教材还注意让学生通过一些有趣的练习，进一步认识２、５的倍数的特征，发展分析、简单的推理等思维能力。P75第3\n、４题，让学生选数字组成符合条件的数，这就需要依据２、５的倍数的特征，思考选哪些数字组成怎样的数。第5题让学生先涂色再观察、讨论，体会因为４是２的倍数，４的倍数也都是２的倍数。3．采用合适的方法帮助学生发现3的倍数的特征◆通过观察3的倍数产生认知冲突３的倍数的特征，学生开始可能会产生看个位的想法。教材P76例题首先让学生找出100以内3的倍数,观察它们的个位，思考是否具有２、５的倍数的类似特征，使学生产生认知的冲突，激发探究结论的愿望。◆在计数器上表示和观察3的倍数，获得初步结论　　接着要求学生在计数器上分别表示出几个3的倍数，看看每个数所用算珠的颗数是多少；再找几个比较大的３的倍数在计数器上表示出来，看每个数用了多少颗算珠，分析每个数所用算珠颗数有什么共同点并进行交流，获得３的倍数，各数位上的数相加的和一定是３的倍数的认识。◆通过验证确认结论的正确性３的倍数各数上的和一定是３的倍数，但有没有一个数不是３的倍数，但各数位上数的和也是３的倍数呢？P77“试一试”要求学生找几个不是３的倍数的数算一算，验证不是３的倍数的数，各数位上数的和不可能是３的倍数，确认前面获得结论的正确性。这样做实际上说明了例题里结论的条件是充分的而且是必要的，学生可以从中感受获得结论的过程是严密的。4．通过学生的活动和思考，认识素数和合数◆让学生自己找出一个数的因数并引导分类素数（质数）和合数，是以一个数的因数的个数定义的。教材为了让学生感知、体验各自的本质属性，理解和获得素数与合数的概念，在P78例题中让学生自己先找一些数的因数，按照因数的个数把这些数分成两类。◆研究同类数的因数的特征，概括素数和合数的意义\n　　要形成概念，还得获得同类事物的本质属性的认识。因此教材引导学生自己分析、研究两类数各自因数的特点，认识每类数的因数个数方面的特征，充分感知一类数里每个数都只有１和它本身两个因数，另一类数里每个数除了１和它本身还有别的因数。在此基础上，教材抽象概括出素数和合数的概念使学生认识。同时还通过学生思考、分析，认识１既不是素数也不是合数。◆安排试一试，加深对素数、合数的认识　　例题之后，教材还安排“试一试”，让学生写出几个数的所有因数，判断是素数还是合数，学生经历这样的过程，可以进一步加深对素数和合数内涵的认识，掌握概念。◆注意让学生体验数学方法的奇妙教材P79第2题，让学生都参与筛法活动，发现剩下的数都是素数，体验这个方法的奇妙，对数学产生好奇心。5．通过综合性练习加深学生的认识和激发学生兴趣◆综合考虑2、5和3的倍数的特征教材P80第2题，有些数同时是两个或三个数的倍数，学生联系２、３、５的倍数各自的特征进行判断，可以加深认识。第３题，要综合考虑75是哪些数的倍数。第４题更要综合考虑２、３、５的倍数的特征来填数，有利于进一步认识所学知识，发展学生综合应用知识的能力。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　◆进一步体会一个数的倍数一定是它的因数的倍数教材Ｐ80第５题，与前面Ｐ77第４题类似，让学生通过练习认识因为６是２和３的倍数，６的倍数也都是２和３的倍数，由此进一步体会一个数的倍数一定是它的因数的倍数。◆使学生加深对素数与合数、奇数与偶数的认识教材P81第6题可以让学生进一步认识素数与奇数、偶数与合数，清晰地掌握概念，防止概念的混淆；第8题三组都是奇数，但不都是素数，有许多数都是合数，学生可以进一步认识和掌握素数、合数的概念。◆用倍数和因数、素数和合数说明实际问题\n教材P80第3题，要应用倍数与因数的关系说明和解释结论；P81第9题，要应用素数和倍数的意义进行解释和说明。这样的问题一方面可以让学生进一步熟悉相应的概念，另一方面可以让学生感受知识的应用，发展学习数学的兴趣。◆把偶数写成两个素数之和体验数学的奇妙教材Ｐ80第10题，学生可以感受这些偶数都可以写成两个素数之和，体验数学的奇妙，还可以为阅读下一页“你知道吗”有一点感性体验。四、典型案例分析张齐华老师执教的《因数和倍数》教学过程：　　一、认识倍数和因数　　师：一起看大屏幕，数一数，几个正方形？（12）第一个问题是如果老师请你把12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？行不行？能不能就用一道非常简单的乘法算式表达出来?　　生：1×12　　师：猜猜看，他每排摆了几个，摆了几排？　　生：12个，摆了一排。　　师：（屏幕显示摆法）是这样吗？第二种摆法我们只要把他旋转一下就跟第一种怎么样？（一样）。我们可以把他忽略不计。还可以怎么摆？同样用一道乘法算式表达出来？　　生：三四十二　　师：这一次每排摆了几个，摆了几排？（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。还有吗？　　生齐：2×6　　师：张老师来猜测一下同学们脑子里怎么想的，有同学可能想每排摆6个，摆2排。也有同学可能想每排摆2个，摆6排。（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。　　师：还有不同的想法吗？每排能摆5个吗？12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。咱们就以第一道乘法算式为例，3×4=12，数学上把3是12的因数，以往我们把他叫约数，现在叫因数，3是12的因数，那4（也是12的因数，）倒过来12是3的倍数，12（也是4的倍数）。同学们很有迁移的能力，这就是我们今天所要研究的因数和倍数。　　师板书：因数和倍数　　师：这儿还有两道乘法算式，先自己说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？行不行？\n　　师：谁先来？　　生说略　　师：刚才在听的时候发现1×12说因数和倍数时有两句特别拗口，是哪两句啊？　　生：12是12的因数，12是12的倍数。　　师：虽然是拗口了点，不过数学上还真是这么回事，12的确是12的因数，12也是12的倍数。为了研究方便，以后来探讨因数和倍数的时候所说的数都是什么数啊？　　生：自然数　　师：而且谁得除外。　　生：0　　师：好了，刚才我们已经初步研究了因数和倍数，屏幕显示：试一试：你能从中选两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁因数和倍数？行不行？先自己试一试。　　3、5、18、20、36　　生说略。　　二、探索找因数倍数的方法　　师：看来同学们对于因数和倍数已经掌握的不错了。不过刚才张老师在听的时候发现一个奥秘，好几个数都是36的因数，你发现了吗？谁能在五个数中把哪些数是36的因数一口气说完？　　生1：3、18　　师：还有谁？　　生2：36　　师：3、18、36都是36的因数，只有这3个吗？　　生1：1　　生2：4　　生3：6　　师：其实要找出36的一个因数并不难，难就难在你有没有能力把36的所有因数全部找出来？能不能？张老师作一下详细说明，因为这个问题有点难度，你可以独立完成也可以同桌完成，下面你选择你喜欢的方式，可以合作，也可以单干，想一想怎么不遗漏，注意了，当你找出了36的所有因数，别忘了填在作业纸上，如果能把怎么找到的方法写在下面更好。　　学生填写时师巡视搜集作业。　　师：张老师找到了3份不同的作业，大家仔细观察这三份作业，可有意思了。我把他命名为A、B、C师板书。　　A：2、4、13、12、18、36　　B：1、2、4、3、6、9、12、18、36　　C：1、36、2、18、3、12、4、9、6\n　　师：关于A这种方法你有什么话要说？（学生纷纷举手）能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？（学生沉默）一点都没有我们值得肯定的地方吗？你先来。　　生1：都对的　　师：有没有道理？看来要找一个人的优点挺困难的。　　生2：写全了　　生大声说：没有！　　师：正好触及了大家的公愤，看来要找一个人的优点不太好找了，是吧？其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？说说有什么问题？　　生：没有写全，少了3、6、9。　　师：大伙来思考一下，6、9这两个因数是36的因数吗？看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？　　生：36÷4，只写了4，没写9　　师：他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？　　生齐：两个两个找。　　生2：先把1写在头，36写在尾，然后再把2写中间，这样依次写下去，这样比较美观。　　师：张老师提炼出两个字："顺序"，好象还不仅仅是因为粗心的问题，没有按照一定的顺序。　　师：第二个同学有没有找全，有没有更好的建议送给他。　　生：他应该把4、3调换一下。　　师：做了一个微调就不仅仅是美观的问题，更带给我们一种寻找的有序。第三个同学是最没有顺序的，什么1、36，2、18了，你们觉得有道理吗？　　师：你想提出抗议吗？你们觉得有顺序吗？（有）你自己来说？　　生：他们那样还要头对尾头对尾的，像这样直接就可以写了。　　师：有没有听明白，也是同样一对一对出现的。　　生：大小没有排，B大小排完后从小到大很舒服。　　师：你看你那个舒服吗？　　生：舒服　　师：正是因为你的质疑，他把方法说了出来。他用了什么？　　生：乘法口诀　　师：非常感谢同学们给出的发言，正是你们的发言让我们感受到了如何寻找一个数的因数，有没有问题。　　师：虽然这个同学找到了尝试完了1，找到36、尝试完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然数有很多，那你的7、8没有试，你怎么知道找全了呢？　　生1：找到开始重复就不找了　　生2：我认为应该找到比较接近如5、6，7、8找到比较接近就可以了。\n　　师：体会体会1、学生：36、2、学生：18、3、12、4、9、6这两个因数在不断接近，接近到相差无几。　　生：　　生：直接找更大数的所有的因数，这个同学很厉害，已经在用分解质因数的方法在找一个因数的个数了。　　师：通过刚才的交流，有办法了吗？有没有方法不遗漏。试一个。20　　生齐：1、2、4、5、10、20　　再试一个：15，写在练习纸上。学生汇报　　师：寻找一个数掌握的不错，这节课还要研究倍数呢。会找一书的倍数吗？找一个小一点的，3的倍数，谁来找一个。　　生：21、300　　师：你能把3的倍数全部写下来吗？　　生：不能。太多太多了。　　师：那怎么办？写不完可以用省略号表示。试试看。　　学生练习纸上完成，汇报。　　师：同学们虽然找的答案差不多，但脑子里的方法各不相同。我想听听你是怎样找的？　　生1：3×1、3×2　　师：能理解吗？　　生1：3＋3=6、6＋3＝9　　师：有理吗？不要小看加3了，当到数大的时候也比较方便。　　生：略　　师：寻找一个数的倍数的方法掌握了吗？试一试。7的倍数　　学生练习纸上完成：50以内7的倍数。　　师：谁来说说这一次你找了哪几个？　　生：7、14、21、28　　师：为什么不加省略号？　　生：因为给了一个限制。　　师：任何自然数的倍数是无限的。会寻找一个数的因数吗？　　生：略　　三、感受倍数和因数的神奇奥秘　　师：透出一个信息，关于因数和倍数是不是蕴藏了很有意思的规律，下面这题就隐藏了一条规律。屏幕显示：老师这有9颗珠子全部放到十位和个位，1颗放十位，另外8颗放个位。这样就得到几？（18）要是不这样放，你还能得到其他的两位数吗？　　生1：27　　生2：36　　师：把你知道的两位数跟同桌说一说。\n　　学生同桌说，师：如果把你们说的两位数按一定顺序排出来，就得到了这样的一排数，是这样吗？屏幕展示：　　18、27、36、45、54、63、72、81　　仔细观察9颗珠子拨的两位数，你发现了什么？　　生：都是9的倍数　　师：9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数都是（8的倍数）　　师：发现了什么？9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数（不一定都是8的倍数），7颗珠子、6颗珠子呢？其实这里的学问没有同学想的那么简单，张老师给大家布置一个小任务，自己在草稿本上画一画珠子，看看6颗5颗4颗拨出的两位数到底和珠子的个数有什么关系？这里蕴藏着非常丰富的规律，等待着同学们去发现。其实不仅在计数器上找到一些有趣的规律。　　师：张老师问一个问题，好不好？1-100这100个数，思考一下，哪个数的因数最多？　　生1：1　　生2：99　　师：还有谁要发表的？　　生3：9　　师问生2：为什么认为99的因数最多？　　生：9是最大的。　　师：张老师公布一下答案：60　　师：可以一起找一找。可以负责任的告诉你，比99多多了。是不是数越大，因数就越多。你们知道一小时有多少分？（60分），一分=60秒，这里的60和刚才的60有关系吗？这里的60就和100以内的因数有关系，你们相信吗？特意给大家带来一本书。书的名字叫《数字王国》，学生读有关资料。　　师：相信了吧，其实张老师一开始也是特别不相信，咱们历法上面的1小时=60分，一分=60秒的进率竟然和100以内的数的因数有着这么大的关系，这本书详细记载着为什么一年有12个月，一天有24小时，同学们知道为什么用12、24作为进率，道理是一样的。数学中发现的规律　　师：更有意思的在后面，张老师给大家介绍一个数，数学家把6称为"完美数"。想知道为什么吗？用最快的速度说一说6的因数？　　生：1、2、3、6　　师：把6划去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因为这样的数非常特别，所以数学家把这样特点的数称为是完美数。数学家找到了第一个完美数，就会去找第一个完美数，猜猜看，找到了没有？今天张老师不把答案直接告诉你们，我透露一下资料好不好？第二个完美数比20大，比30小，而且还是一个双数，好猜了吧。数学上的规律不是一下子直觉说出来的，那么这样先来说一说双数：22、24、26、28，猜猜看，可能是谁？\n　　学生试这四个数。　　师：写出所有的因数，然后把自己给去掉。　　师：正确答案应该是22，我们一起来找一找，人们开始找第三个完美数，想知道第5个吗？师板书。为什么这么惊讶？同学们惊讶的背后张老师体会的过老，刚才找一个也花了一分多钟，要从几十亿数中找出这6个完美数，数学家们要付出多大的心血。你觉得什么力量使数学家们去不断努力？　　生：好奇心　　师：数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西，就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。高斯曾经说过的把数学比作科学的皇后，数论是数学皇后头顶上的皇冠，我们研究的只是数论中的最最基本的一些小常识，换句话说这堂课我们没有摘取数学皇后头顶上的皇冠，我们摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子[评析：1、课堂充满了丰富多彩的文化信息。　　关于本堂课的文化气息，是相当浓厚的，张老师一定查阅了不少的资料，进行了创造性的组合和优化，对激发学生的学习兴趣是大有好处的。"计数器'九颗珠子的奥秘；神奇的完美数，让学生在不知不觉中感受到了数学的奥秘。只有有了文化气息，数学才变得有了灵魂，而再不会让学生感到枯燥无味，只会乐在其中。　　2、老师善于引导，让学生学会思考　　张老师善于捕捉学生发言过程中的信息，教师大胆地让学生自己找出36的因数和3的倍数，再通过对几份不同作业的比较，一步又一步，层次清晰地得出找因数和倍数的方法。在这一过程中，教师与学生进行互动，沟通联系，交流想法，形成意见，真正做到了"教育的引导者。"如："看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？"、"他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？"……老师亲切的话语引导学生去发现、思考。]（该文章转自[小学课堂在线]：http://www.xxkt.cn/shuxue/2008/29666.html）\n第十单元用计算器探索规律一、单元知识体系本单元主要引导学生利用计算器，探索积的变化规律和商不变的规律，以及运用这些规律进行简单计算和解决一些简单的实际问题。这是在学生已经掌握整数四则运算及一些运算规律，学会用计算器计算的基础上安排的。而掌握这些规律，不仅能使学生进一步加深对乘、除法运算的理解，增强自主探索规律的自觉意识，而且也为今后自主探索和理解小数乘、除法的计算方法作好准备。内容分三段安排：先通过例1探索积的变化规律，再通过例2探索商不变的规律，最后通过例3教学商不变的规律在除法计算中的应用。二、思想方法渗透1．让学生在猜想规律、枚举验证、应用规律的过程中，体验探索数学规律的过程和方法，发展数学思维能力。2．让学生经历探索规律、发现规律的一般过程，体验小学数学学习中常用的不完全归纳的一般方法，以助于学生进一步去发现其他数学规律，逐步形成发现规律的敏锐眼光。三、教材练习安排1．引导学生经历探索、发现积、商变化规律的过程◆在计算中初步感受因数变化与积的变化的联系教材首先安排积的变化规律的认识，P83例题先出示表格，要求学生用计算器根据一个因数不变，另一个因数乘一个数，计算出因数变化后的积，并算出这个积就是原来的积乘的几，初步感受和认识在乘法里，一个因数不变，另一个因数乘几时，积就等于原来的积乘几。◆自己举例计算并比较、综合，发现和概括积的变化规律\n　　在学生初步总结这个规律以后，教材进一步引导学生再举出一些例子，用计算器计算并把这些例子里因数和积的变化进行比较，从同类例子里抽象和概括出相应的规律。◆让学生经历类似的过程发现和概括商不变的规律教材P84例题探索商不变的规律，让学生经历探索和发现规律的过程。与积的变化规律一样，先提出一个除法算式，要求学生把被除数和除数同时乘几或同时除以几，观察并初步感受商有什么变化；接着由学生自己举例用计算器计算、比较，从同类例子里发现和概括出商不变的规律。2．逐步提高学习要求，发展学生学习水平◆积的变化规律引导学生逐步发现　　在教材的具体安排上，注意逐步提高学生的学习水平，以提高学生的学习能力。在探索积的变化规律时，先列表让学生计算并引导比较因数和积的变化，思考积有什么变化。再让学生举出类似例子计算、比较，引导学生发现规律。◆商不变的规律给学生更多的探索空间　　有了学习积的变化规律的经历，学生就有了一定的学习经验和方法，学习P84例题探索商不变的规律时，给予学生更多的探索空间，学习要求有了一些提高。这种提高体现在两个方面：一是把被除数和除数同时乘或除放在一起探索　　探索商不变的规律，可以先看被除数和除数同时乘一个数，再看被除数和除数同时除以一个数，然后综合概括规律。但本单元的例题直接把被除数和除数同时乘或者除以一个数放在一起提出问题，这样的要求就比前面探索积的变化规律高一些。二是让学生自己选择数据和举例计算，发现商不变的规律　　在探索商不变的规律时，不再像积的变化规律那样给定一些数据，完全让学生自己选择相乘的数和相除的除数，探索感受规律，再通过举例计算发现商不变的规律。\n◆让学生通过计算发现一些新的规律在例题里探索积的变化规律和商不变的规律的基础上，教材P87第2、3题还安排练习，让学生通过计算器计算主动探索积的变化的新的规律，即两个因数同时变化引起积的变化的规律，P88第6题引导学生自己用计算器计算探索商的变化规律，即被除数变化、除数不变引起商的变化规律。这样做就有利于发展学生的学习水平。3．注意应用规律，加深有关知识的认识与理解◆在应用积的变化和商不变规律中加深认识要使学生巩固和熟悉积、商变化的规律，还要注意让学生联系规律思考问题。教材P83第1、2题让学生观察因数的变化直接写出积是多少，P85第1、２题是同样类型的练习，这些练习有利于学生熟悉积的变化规律，加深认识。◆联系实际问题的背景理解积的变化规律和商不变的规律教材P84第3题让学生解决自己熟悉的实际问题，以单价不变数量变化引起总价变化为背景，可以帮助学生进一步理解积的变化规律；P85第3题以商品的总价和数量同时变化而单价不变为题材，有利于学生理解商不变的规律。◆应用商不变的规律学会简便计算　　应用商不变的规律，可以使被除数和除数末尾都有０的除法笔算简便一些，教材在P85安排例题教学这一内容，通过被除数和除数同时除以10使学生学会依据商不变的规律用简便方法笔算。例题重视两点，使学生掌握应用商不变的规律用简便方法笔算时要注意的问题：\n强调被除数和除数除以相同的数例题里提出问题，引导学生思考为什么被除数末尾只划去一个０，使学生联系商不变的规律分析交流，可以进一步认识被除数和除数除以相同的数时，商才不变，以防计算中去末尾０时发生错误。注意被除数的变化带来余数的变化例题在86页的计算，注意了在应用商不变的规律时余数的变化。题里在计算后直接看到的余数为“２”，其实这个余下的数本身也缩小了，即也是除以10以后的数，或者说应用规律时是用90个十作为被除数计算的，所以余数就是２个十，即应该是20。这里还可以通过验算使学生确信余数不是２而是20。四、典型案例分析“用计算器探索规律”教学片断师：我想继续和大家玩一个游戏，愿意吗？这个游戏叫“我的特异功能”。我需要小助手和我配合一下。（学生上台，教师投影出示下表）因数因数积积的变化师：（对一生）这是一张表格，你的任务就是根据老师的要求来填表、回答问题。（对另一生）你的任务是帮她拿着话筒，帮忙看大屏幕。其他同学注意看、注意听。师：（背朝学生及屏幕）小助手，请在表格第一行任写一个乘法算式，如果因数比较大，可以用计算器计算积。小助手，请告诉我，积是多少？（小助手回答）师：小助手，第二行的第一个因数不变，第二个因数任意乘一个数，告诉我，第二个因数乘了几？（小助手回答）师：同学们，虽然我不知道原来的两个因数是多少，但我知道现在的积是多少，是××。不相信，你们算算看。师：相信老师有特异功能吗？（不相信）那你们猜猜老师是怎么算出现在的积的？生：我也能算出来，用上一行的积去乘6。\n师：是吗？大家算算看。（学生计算，表示同意）师：我想采访一下这位同学，你怎么想到用上一行的积乘这个数的？（指第二个因数乘的数）生：因为这个算式中一个因数不变，另一个因数乘6，所以积也同时乘6。师：那如果乘7呢？生：积也乘7。师：如果乘99呢？生：积也乘99。师：这个同学提出了一个很有意思的想法，他认为一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几（板书）。大家同意他的说法吗？（同意）我可有点半信半疑。这个说法我们可以称之为猜想，究竟对不对需要进一步来验证。思考一下，如何验证？生：可以把这个猜想用到实际中。师：对，事实胜于雄辩，咱们可以举些例子。（学生举例。一组学生用因数乘因数算出积是多少，另一组学生用猜想的方法算出积，并比较结果）因数因数积积的变化29461334－2946×680041334×629×80461067201334×802946×10133401334×1029×2046266801334×20师：同学们，咱们任意举了几个例子，请大家仔细观察整张表格，你发现了什么？生：刚才那位同学说的猜想是正确的。一个因数不变，另一个因数乘几，积也同样乘几。师：看来在29×46=1334这个乘法算式中，这个猜想是成立的，那么在其他乘法算式中，这个猜想是否还成立呢？生：是成立的。师：口说无凭，咱们还是得用事实说话。（学生自主举例，并在小组里交流）师：有没有哪位同学举的例子不符合猜想的，请举手！（无人举手）看来，在所有的乘法算式里，这个猜想都是成立的。其实老师在开始的游戏中说有特异功能，只不过想考考大家。你们真不简单，我提议大家为自己的表现鼓鼓掌。师：在所有的乘法算式里，其实都存在这样一个规律，这个规律是什么？（学生齐答）\n[评析]教材在引导学生探索“积的变化规律”时，主要的意图是让学生通过具体丰富的实例，运用不完全归纳法，总结“一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几”的规律。虽然教材在此前的教学内容中为“积的变化规律”进行了大量的铺垫和准备，但学生对规律的感知和认识仍然要经历逐步清晰的过程。为此，教师设计了教师有“特异功能”的游戏情境，调动学生的积极性，在具体情境中唤起学生已有的经验，从而作出猜想。在此基础上的验证环节，努力体现研究的科学性和严谨性。教师先引导学生重点研究在29×46=1334这道乘法算式中猜想成立，再在其他的乘法算式中进行验证，这样的设计凸显了不完全归纳法的要求。另外，在这一过程中，教师的主导作用和学生的主体作用都得到了恰到好处的发挥。　第十一单元　解决问题的策略一、教学内容苏教版小学数学教材十分注意发展学生解决问题的策略，除了各类内容的学习时注意让学生感受一些数学策略外，从四年级上册开始每册都安排“解决问题的策略”，促进学生掌握解决实际问题的策略，提高学生解决问题的能力。本单元教学用画图的策略探索解决问题的方法，这是在上一册教材学会用列表整理条件和问题的策略探究解题方法基础上安排的，发展学生解决问题的策略。从问题内容和图的形式上说，具体可以分为两个层次：第一层次，通过例1教学用画平面图的策略探索图形问题的解决；第二层次，通过例2教学用画线段图的策略探索一般实际问题的解决。二、教材编写特点和教学建议1．让学生用画图的策略探索解决图形实际问题的方法◆启发学生画图表示问题的信息教材先安排画图解决图形的实际问题。P89例题如果让学生直接思考解题方法，具有一定的抽象性，分析比较困难。教材先启发学生根据题里的条件和问题，画出相应的平面图，直观显示问题的信息，便于学生分析和思考。◆引导学生探寻思路、解决问题\n在画出平面示意图后，引导学生借助直观进行分析，思考先要求什么，找出解决问题的方法。由于有了直观为依托，学生就能看出需要先求长方形的宽。而从图中就能直观地很快知道如何求出长方形的宽，从而解决问题。学生通过这样的策略解决问题，就能体验画图策略的有效性，感受直观图作用，乐于用这样的策略解决问题。◆“试一试”进一步体验通过画图解决图形问题的策略教材在例题的基础上，P89“试一试”通过问题变化，引导学生完成直观示意图，促进学生分析和探究解决问题的思路，进一步体验画图的策略，掌握根据条件和问题画示意图表示题意的方法，感受直观图的对于解题的作用，形成应用画图策略的兴趣和自觉性。2．让学生用画图的策略探索解决一般实际问题的方法◆引导学生画图、列表显示实际问题的数量关系教材P91例题通过相遇问题教学用画图策略解决一般实际问题，学会画线段图分析数量关系，使学生进一步掌握画图策略的应用。教材提出问题，引导学生自己画图或列表整理问题的条件和问题，以使学生分析数量关系有清晰的依据。◆引导学生借助线段图和列表整理，形成思路、解决问题接着引导学生根据整理结果，思考和交流先可以求什么，使学生形成解决问题的思路，确定解题过程要先算什么再算什么，自己解决问题，完成解答。学生画图或列表后，就很容易看出先求每人各行的路程，就可以求出共走的路程，根据列表可以看出先求两人的速度和，就可以求出共走的路程，这就可以促进学生运用画图、列表策略解决问题。◆“试一试”进一步体验画图的策略教材P92“试一试”通过条件的变化，让学生自己经历画图整理、思考分析和解答问题的过程，进一步体验画图的策略，掌握怎样画图表示题意，借助图形分析数量关系。3。在应用策略中进一步体验解决问题策略的价值◆画图解决稍复杂的图形问题，进一步体验策略的价值教材P90第1题是比例题稍复杂的实际问题，学生理解和解答都有一定困难。学生画出图后就能了解怎样求出原来试验田的长和宽。一方面可以帮助学生掌握用画图策略解决问题的过程，另一方面能促进学生体验出画图策略的作用。◆通过画图或列表整理，进一步体验策略的价值\n教材P92第2题通过画图或列表策略解决，P93第5、6题通过列表策略解决问题，都可以便于学生理解数量关系，使学生比较容易发现解题过程与方法，使学生感受运用策略解决问题的价值。◆让学生解富有挑战性的问题。 给学生解答的数学题一般有两种情况：一种是已经学过并且记住了的题，学生一看就知道怎样解答；另一种是以前未见过的陌生题，学生暂时不知道可以怎样解答。在解答前一种情况的题时，主要活动是“识别——提取模型——重复已有的解决方法”，通过再现与重复巩固知识，形成比较熟练的技能。在解答后一种题的时候，则需要“探索研究——创造性地运用已有经验——重组新的认识”，从而在解题的活动中发展策略和创新能力。数学教学中这两种情况的题都需要，显然本单元应该安排后一种情况的题。 仔细研究本单元的例题和习题，我们不难发现变化多于重现。有的是题材和情境变了，有的是条件与问题变了，有的是数量关系变了。许多题对学生都是新颖的、富有挑战性的。但是，有一点始终保持不变，这就是都可以用画图或列表的方法整理数学信息，都要经过整理才能形成思路、找到解法，都是为了发展学生解决问题的策略。