第三章变量之间的关系3.3用图象表示的变量间关系（第2课时）西安市西北中学周东梅一、教材依据“用图象表示的变量间关系”是《义务教育课程标准实验教科书》（北师大版）七年级数学（下）第三章变量间的关系中的第三节的教学内容（共2个课时）。本章是第三学段第一次集中讨论变量之间的关系，初步理解并尝试用数学方法描述变量之间的关系。共分三节，在前两节中学生分别学习了利用表格、关系式表示的变量之间的关系。第三节第一课时学生初步接触从图象中分析变量之间关系，能够在问题的提示下得出图象所表示的变量之间的相互关系，但还没有达到“自觉”的程度。本课时《速度的变化》相当于第一课时（温度的变化）的延伸，让学生再次经历从图中分析变量之间关系的过程，达到“自觉”将图象与实际情境联系起来，从图象中主动发现信息并有条理的进行语言表达。教材对“用图象表示的变量间关系”这一节的教学内容的设计，体现了《标准》中的“人人学有价值的数学”和“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象”的基本理念。二、设计思路在本章前面几节课中，学生学习了自变量和因变量的概念，并学习了变量之间关系的三种表示方法，初步理解了自变量和因变量的概念，具备了变量之间关系的三种表示方法的基本技能。在平时的生活中又经常接触到一些具有变化关系的量，初步理解了自变量及因变量之间的关系，具备了从一个具体问题中辨别自变量与因变量的能力，同时在以前的数学学习和生活中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。本节教材"速度的变化"从学生所熟悉的情境人手，从速度-时间图象中获取速度随时间变化的关系，引导学生总结“加速—匀速—减速”的图象特点，从而对比归纳出路程-时间图象特点，理解二者的区别与联系。体会图象在表达两变量间变化关系的直观性，感受数学的应用价值。本节教材能使学生初步感受函数思想，能更好地发展学生有条理地进行思考和表达的能力，为以后顺利过渡到函数学习打下基础。三、教学目标\n1．知识与技能目标：（1）经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，体会数学直观。（2）能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示变量间关系的理解。（3）能借助图象对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系进行表示。（4）进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养合作交流意识，感受数学之美。2．过程与方法目标：经历从图象中分析变量之间的关系的过程，进一步体会变量之间的关系，在具体情境中培养学生对变量之间关系的认识和语言描述的合理性，培养学生从图象中获取信息的广泛性和准确性。3．情感与态度目标：从解决大量实际问题和学生感兴趣的问题中提高学生用数学的意识，体验数学所蕴含的数学美。四、教学重点：1.把实际问题转化为数学图象，再根据图象来研究实际问题，使学生获得对图象反映变量之间关系的体验。2.根据数学情境选择（或绘制）适当的图象，根据图象用自己的语言大致描述实际过程。五、教学难点：1.从图象中获取准确信息与在现实情景下用语言进行描述之间的等价转化；2.用图象法来反映两个变量之间的关系，解决自己身边的一些实际问题。六、教学准备动画演示一：汽车行驶中速度与时间的变化关系；动画演示二：柿子下落过程中速度与时间的变化关系（视学生的理解程度决定播放与否）；活动准备：按照学生特点分成六人一个小组，便于交流讨论；板书相关：事先板书标题，准备三角板画图，准备吸铁石展示学生答案等。七、教学过程：\n根据内容特点，本节课共设计了温故知新、创设情境、诱导发现、探索新知、边学边想、活学活用、再探新知、总结提升、迁移应用、课堂小结、练习反馈、布置作业等十二个教学环节。详细过程如下表所示：教学过程教学内容教师活动学生活动设计意图温故知新1.我们学习了哪几种表示变量之间关系的方法？A、列表法B、关系式法C、图象法２．图象法表示两个变量之间关系的特点是_非常直观_。３．用图象法表示两个变量之间关系时，通常用横轴上的点表示_自变量_，用纵轴上的点表示__因变量_。希望学生能总结学习过的三种表示变量之间关系的方法,体会它们之间的联系，培养善于归纳总结的意识。根据老师提出的问题，联想前面学过的知识，积极思考并举手回答。复习巩固本章前几节的内容，尤其是上一节图象法表示变量之间关系的相关内容，引导学生更好的掌握本节知识。创设情境同学们见过汽车时速表吗？你能看懂这个表吗？（动画演示汽车速速与时间的关系）本节课我们继续来学习：用图象表示的变量间关系—速度的变化1、营造良好氛围，激发学生好奇心，引导学生快速进入状态；2、启发引导学生思考分析，数学来源于生活，数学因为生活的需要而产生的。认真思考，积极参与。联系生活实际创设问题情境，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性与主动性。诱导发现下面是老师绘制的三幅图象，认真观察图象并回答如下问题：1、图象中的自变量和因变量分别是什么？o时间速度A时）面生到g刻画汽车的速度与时间的关系间o速度B2、你能用一句话来描述每个图中自变量与因变量之间的关系吗？o时间速度C1、让学生展示自己的分析过程．2、引导学生将新旧知识联系起来，发现新问题，利用所学知识解决新问题，引导学生进行自主探究，获得新知。1、学生根据自己的生活经验积极寻求最佳表述方式。2、学生展示自己的分析与解决过程．3、在老师的引导下\n教师引导描述：A：在某个时间段内，随着时间的增加，物体作加速运动；B：在某个时间段内，随着时间的增加，物体作匀速运动；C：在某个时间段内，随着时间的增加，物体作减速运动。与同桌进行交流总结。设计、观察、交流等有效的活动是学习数学的重要方式，新课之初设计几个简单易懂的图象诱导学生发现问题，将后面的复杂图象解剖开来，让学生初步感受成功的喜悦。探索新知汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。认真观察图象并回答如下问题：（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？（3）汽车哪段时间在加速行驶？哪段时间在减速行驶？（4）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？（5）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。巡视各组讨论情况，并参与一些小组的讨论，组织学生交流，鼓励创新的见解（选2—3个小组代表讲解）。1、根据老师所提问题，先独立思考，然后小组交流讨论，并派代表发言。2、各小组派代表回答问题，并解说从统计图中获取的信息及此统计图对于现实生活的实际意义下通过对层层推进的问题串的形式逐步引导学生获得图象所传达的信息，熟悉图象语言,培养学生自主探索的意识和能力，使学生在探索的过程中形成自己的观点，并体验团队合作意识。边学边想就上述速度随时间变化而变化的图象特征，请同学们思考，我们如何通过图象判断速度随时间变化的情况？师生总结：从左往右看：若图象上升,表明速度在增大若图象下降,表明速度在减小若图象与横轴平行,则表明速度保持不变或静止。1、多媒体展示；2、巡视、点拨；3、评价、总结。根据老师所提问题，先独立思考，然后小组交流讨论，并派代表发言。通过对汽车速度-时间图象的观察、分析，培养学生的归纳总结能力。\n活学活用一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶。汽车到达下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶。下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的变化情况？（B）0时间00速度0速度速度速度时间时间时间ABCD再探新知一次春游活动过程中离校距离随时间变化的图象如下图所示，根据图象回答下列问题：(1)图象表示了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)春游目的地离学校有多远?(3)返回时的平均速度是多少?(4)8:30~9:00之间可能发生了什么情况?时间(时)07:308:309:3010:3011:3012:3013:3014:3051015距离(千米)(5)用自己的语言大致描述这次春游活动情况。1．巡视各组讨论情况，并参与一些小组的讨论，组织学生交流，鼓励创新的见解。2.适当提醒学生，此图象与刚才的速度-时间图的差异，避免学生走入误区。根据老师所提问题，先独立思考，然后小组交流讨论，并派代表发言。通过与速度-时间图象的对比，及层层推进的问题引导学生探究路程-时间图象，获得新图象所传达的信息，培养学生自主探索的意识和能力，体会知识点之间的区别联系，懂得融会贯通的重要性。总结提升就上述路程随时间变化而变化的图象特征，对比于速度-时间图的分析，请同学们再想一想，我们如何通过图象判断路程随时间变化的情况？师生总结：从左往右看：1）若图象上升,表明物体匀速远离出发点；2）若图象下降,表明物体匀速返回出发点3）若图象与横轴平行,则表明物体静止（或停留在原地）1、多媒体展示．2、巡视、点拨．3、评价、分析、总结。根据老师所提问题，先独立思考，然后小组交流讨论，并派代表发言。通过对汽车速度-时间图象的观察、分析，培养学生的归纳总结能力。\n匀速出发静止匀速返回迁移应用李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是加快车速，在下图中给出的示意图中（s为距离，t为时间）符合以上情况的是（D）课堂小结通过本节课的学习与交流，你有什么想说的？对自己说，你有什么收获！对老师说，你有什么疑惑！对同学说，你有什么提示！教师概括：1、解图象信息题首先要明确横轴和纵轴分别表示的变量的意义（注意名称及单位）；2、“解决图象类问题”的一把万能钥匙是理解图象的变化趋势：上升线——随自变量的增大而增大水平线——随自变量的增大而不变下降线——随自变量的增大而减小3、解图象信息题突出了数形结合的思想方法。引导学生进行小结与反思。1、清楚图象法表示速度-时间关系及路程-时间关系的区别与联系；2、会根据具体情境选择（或绘制）适当的图象，能够根据所给图象描述物体的运动过程；3、理解用图象法解决实际问题的关键，体会数学在生活的中的用途，明白生活处处有数学，建立应用数学的意识。在学习内容、方式及分析图象的技巧上谈个人的收获，再一次体会探究数学问题的乐趣．师生互相交流总结图象的特点，怎样通过图象进行合理决策，使学生感受所学的知识就在身边。\n练习反馈1．柿子熟了，从树上落下来。下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？（）2．某同学从第一中学走回家，在路上他碰到两个同学，于是在文化宫玩了一会儿，然后再回家，图中哪一幅图能较好地刻画出这位同学离家所剩的路程与时间的变化情况：（）①②③④3.如果OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程s和时间t的关系，根图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（）。A．2.5mB．2mC．1.5mD．1m\n拓展延伸大家都知道“龟兔赛跑”的故事吧，一天小颖给同学们讲了一个她自己编的“龟兔赛跑”的故事，小明根据小颖讲的故事画出了如图所示的图象，请你根据图象回答问题：（1）你认为m和n中哪一条是描述乌龟的？哪一条是描述兔子的？说说理由。（2）这个故事中乌龟和兔子是从同一地点出发的吗？是同一时间出发的吗？（3）乌龟和兔子在比赛途中相遇了几次？（4）乌龟和兔子哪一个先到达终点的？（5）你能用自己的语言把小颖讲的故事复述出来吗？时间距离0nmt1t2t3t4S4S3S2S1布置作业1、课本第108页：习题4.4（写书上）2、全品P75~76：折线型图象3、思考“龟兔赛跑”题，并根据题意将这个故事生动的讲出来。板书设计用图象表示的变量间关系——速度的变化数形结合变量间的关系：图象（生活实际）（找准自变量、因变量）速度1.速度-时间关系匀速行驶减速行驶加速行驶时间02.路程-时间关系路程\n静止不动匀速返回匀速出发时间0八、教学反思1．值得肯定的方面考虑到学生在小学已经学过一些变量关系的图象，而且普遍掌握较好，且本课是用图象表示变量间关系的第二课时，因此本课时教学中将重点放在分析变量之间关系的过程，加深对图象表示的理解，进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力，并且对教材内容加以扩充，让学生对比速度时间图象得出路程随时间变化图象的特点。同时充分利用现代化教学手段多媒体加强直观教学，引起学生学习兴趣：通过师生互动，激发学生学习积极性，从而提高学习效率。数学活动是学生探索、掌握、应用数学知识的过程，本节课在教师引导下，通过小组合作交流、课堂展示讲解变量关系图象的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。2．需要改进的方面在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。大部分同学能通过路程随时间变化的实际情境，分析出变量之间关系。但从图象中获得信息不能很好地用语言表达出来，尤其是对于平均速度的计算尚存在困难，以后需要进一步加强训练。