鸽巢问题（一） 抽屉原理是组合数学中的一个重要原理，它最早由德国数学家狄里克雷（Dirichlet）提出并运用于解决数论中的问题，所以该原理又称“狄里克雷原理”。抽屉原理有两个经典案例，一个是把10个苹果放进9个抽屉里，总有一个抽屉里至少放了2个苹果，所以这个原理称作“抽屉原理”；另一个是6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子，所以也称为“鸽巢原理”。 1把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什么意思？ “总有”就是说“一定有一个笔筒”。“至少”就是说“不少于2支，可能是2支，也可能多于2支”。 我们可以摆一摆。00第一种： 我们可以摆一摆。0第二种： 我们可以摆一摆。0第三种： 我们可以摆一摆。第四种： 0000我发现一定有1个笔筒里有2支或多于2支铅笔。 先放3支，在每个笔筒中放1支，剩下的1支就要放进其中的一个笔筒。所以至少有一个笔筒中有2支铅笔。还可以这样想：所以，只要放的铅笔数比文具盒的数量多1，总有一个文具盒里至少放进2支铅笔。 做一做15只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？ 假如1个鸽笼里飞进1只鸽子，3个鸽笼最多飞进3只鸽子，还剩下2只鸽子，所以，无论怎么飞，总有1个鸽笼里至少飞进2只鸽子。 我给大家表演一个“魔术”。一副牌，取出大小王，还剩52张牌，你们5人每人随意抽一张，我知道至少有2张牌是同花色的。做一做2你理解上面扑克牌魔术的道理了吗？ 至少有2张牌是同花色。 鸽巢问题（二） 2把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么？如果每个抽屉最多放2本，那么3个抽屉最多放6本，可题目要求放的是7本书，还剩1本书。我随便放放看，一个抽屉1本，一个抽屉2本，一个抽屉4本。两种放法都有一个抽屉放了3本或多于3本。 7÷3=2⋯⋯1总有一个抽屉里至少有3本书。如果有8本书会怎样呢？10本书呢？2+1=3 8÷3=2⋯⋯22+1=3总有一个抽屉里至少有3本书。 10÷3=3⋯⋯13+1=4总有一个抽屉里至少有4本书。 7本书放进3个抽屉，有一个抽屉至少放3本书。8本书、10本书⋯⋯7÷3=2⋯⋯18÷3=2⋯⋯210÷3=3⋯⋯1如果有8本书会怎样呢？10本书呢？总有一个抽屉里至少有3本书。总有一个抽屉里至少有3本书。总有一个抽屉里至少有4本书。 把书尽量多地“平均分”给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本。我发现：⋯⋯ 做一做111只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？ 把11只鸽子看作11个物品，把4个鸽笼看作4个抽屉，11÷4=2……3，2+1=3，总有一个抽屉至少放3个物品。所以，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。 做一做25个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？ 把5个人看作5个物品，把4把椅子看作4个抽屉，5÷4=1⋯⋯1,1+1=2，总有一个抽屉放2个物品。所以，总有一把椅子上至少坐2人。 2.张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？ 把投了的5镖看作5个抽屉，把成果41环看作41个物品。41÷5=8……1，8+1=9，至少有一个抽屉里放了9个物品。所以，张叔叔至少有一镖不低于9环。 3.给一个正方体木块的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色。不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。为什么？ 把正方形的6个面看作6个物品，把蓝、黄两种颜色看作2个抽屉，6÷2=3，至少有3个物品在同一个抽屉里。所以，无论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。 鸽巢问题（三） 只摸2个球能保证是同色的吗？摸出5个球，肯定有2个同色的⋯⋯盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？3有两种颜色。那摸3个球就能保证，和抽屉原理有关系吗? 因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一抽屉”。这样，就可以把“摸球问题”转化成“抽屉问题”。只要摸出的球数比它们的颜色种数多1，就能保证有两个球同色。 做一做1向东小学六年级共有367名学生，其中六（2）班有49名学生。六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。他们说得对吗？为什么？六年级里至少有两人的生日是同一天。 因为一年中最多有366天，如果把这366天看作366个抽屉，把367个学生放进366个抽屉，人数大于抽屉数，因此总有一个抽屉里至少有两个人，即他们的生日是同一天。 而一年中有12个月，如果把这12个月看作12个抽屉，把49个学生放进12个抽屉，49÷12=4……1，4+1=5，因此，总有一个抽屉里至少有5个人，也就是他们的生日在同一个月。 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？做一做2 把四种颜色看作4个抽屉，把取出的球看作物品，那么至少取4+1=5个球可以保证取到两个颜色相同的球。 5.任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数，请说明理由。 因为自然数可以分成奇数、偶数两类。把奇数、偶数看作两个抽屉，把任意给出的3个不同自然数看作3个物品。至少有一个抽屉里放了两个数。又因为奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以，任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数。 6.给下面每个格子涂上红色或蓝色，观察每一列，你有什么发现？如果只涂两行的活，结论有什么变化呢？ 涂色方式共有8种情况：红红红蓝红蓝蓝蓝红红蓝红蓝红蓝蓝红蓝红红蓝蓝红蓝 把9列小方格看作9件物品，每列小方格不同涂色方式看作不同的抽屉，即有8个抽屉。至少有一个抽屉里有2件物品。所以，无论怎么涂，至少有两列的涂法相同。 只涂两行的涂色方式有4种情况。红红蓝蓝红蓝红蓝 把9列小方格看作9件物品，把4种不同涂色方式看作4个抽屉。9÷4=2……1，至少有一个抽屉里有3件物品。所以，假如只涂两行的话无论怎么涂，至少有三列的涂法相同。