题目与解析

问题

正六边形被分成24个正三角形，如下图所示．在其中的19个结点处各写一个互不相同的自然数，试证在剖分出的24个三角形中，至少有7个正三角形的顶点处的3个数是按逆时针方向以递增顺序排列的。

答案与解析

【解析】 设在网格中相邻两个结点A和B处所写的数分别为a和b。

如果a<b，则在由A指向B的方向的左侧三角形中画一黑点；

反之则在由B指向A的方向左侧的三角形中画一黑点(如果该侧没有三角形就不画)。

显然，在符合要求的三角形内有2个黑点，其余三角形内有1个黑点．因为网格图形内部有30条线段，它们所导致的30个黑点当然也在三角形内。

边界上的12条线段中，至少有1条产生的黑点在三角形内．那么24个三角形中至少有31个黑点，从而至少有7个三角形各有两个黑点，也就至少有7个三角形满足题目要求。

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