少年宫游乐厅内悬挂着200 个彩色灯泡,这些灯或亮或暗,变幻无穷。200 个灯泡按1~200 编号。灯泡的亮暗规则是:第1 秒,全部灯泡变亮;第2 秒,凡编号为2 的倍数的灯泡由亮变暗;第3 秒,凡编号为3 的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态(即亮的变暗,暗的变亮);第4 秒,凡编号为4 的倍数的灯泡改变原来亮暗状态。这样继续下去,……200 秒为一周期。当第200 秒时,哪些灯是亮着的?
【答案】
答案与解析:
在解答这个问题时,我们要用到这样一个知识:任何一个非平方数,它的全体约数的个数是偶数;任何一个平方数,它的全体约数的个数是奇数。例如,6 和18 都是非平方数,6 的约数有:1、2、3、6,共4 个;18 的约数有1、2、3、6、9、18,共6 个。它们的约数的个数都是偶数。又例如,16 和25 都是平方数,16 的约数有:1、2、4、8、16,共5 个;25 的约数有1、5、25,共3 个。它们的约数的个数都是奇数。
回到本题。本题中,最初这些灯泡都是暗的。第一秒,所有灯都变亮了;第2 秒,编号为2 的倍数(即偶数)的灯由亮变暗;第3 秒,编号为3 的倍数的灯改变原来的亮暗状态,就是说,3 号灯由亮变暗,可是6 号灯则由暗变亮,而9 号灯却由亮变暗……。这样推下去,很难理出个头绪来。
正确的解题思路应该是这样的:凡是亮暗变化是偶数次的灯,一定回到最初状态,即是暗着的。只有亮暗变化是奇数次的灯,才是亮着的。因此,只要考虑从第1 秒到第200 秒这段时间,每盏灯变化次数的奇偶性就可判断灯的亮暗状态。
一个号码为a 的灯,如果有7 个约数,那么它的亮暗变化就是7 次,所以每盏灯在第200 秒时是亮还是暗决定于每盏灯的编号的约数是奇数还是偶数。我们已知道,只有平方数的全部约数的个数是奇数。这样1~200 之间,只有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196 这14个数为平方数,因而这些号码的灯是亮着的,而其余各盏灯则都是暗着的。
用奇偶性分析解题,是我们经常用的一种解题方法,既灵活又有趣。
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